# Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger PDF

By Laurent Berger

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46 CHAPITRE 6. PRODUITS TENSORIELS D´emonstration. — Comme σ((Id +σ)x) = (Id +σ)x et σ((Id −σ)x) = −(Id −σ)x, on peut ´ecrire x ∈ V ⊗ V de la mani`ere : x= Id −σ Id +σ x+ x ∈ Sym2 (V ) ⊕ Λ2 (V ). 2 2 Ceci montre aussi que les vi vj forment une famille g´en´eratrice de Sym2 (V ) et que les vi ∧ vj forment une famille g´en´eratrice de Λ2 (V ). En comptant les dimensions, on voit que ces familles g´en´eratrices sont forc´ement libres. Si V et W sont deux repr´esentations d’un groupe fini G, alors V ⊗ W est naturellement une repr´esentation de G via la formule ρV ⊗W (g) = ρV (g) ⊗ ρW (g).

Quitte a` permuter les lignes et les colonnes, on peut supposer que N (P ) = N (p1,1 ). Supposons alors qu’il existe i ou j tels que p1,1 ne divise pas pi,1 ou p1,j . Dans ce cas, consid´erons les op´erations suivantes : (L) si c’est pi,1 , alors on fait la division euclidienne de pi,1 par p1,1 : pi,1 = qp1,1 + r et on remplace la ligne Li par Li − qL1 puis on r´eordonne les lignes et les colonnes pour que N (P ) = N (p1,1 ) ; (C) si c’est p1,j , alors on fait la division euclidienne de p1,j par p1,1 : p1,j = qp1,1 + r et on remplace la colonne Cj par Cj − qC1 puis on r´eordonne les lignes et les colonnes pour que N (P ) = N (p1,1 ).

D´emonstration. — Pour que la d´emonstration soit aussi claire que possible, nous montrons le th´eor`eme dans le cas o` u A est un anneau euclidien (c’est le cas dans les deux applications les plus importantes, A = Z et A = K[X]). La d´emonstration dans le cas g´en´eral est assez semblable mais l’une des ´etapes est plus technique. Montrons donc le th´eor`eme sous l’hypoth`ese suppl´ementaire que A est un anneau euclidien. Si l’on choisit des bases de M et N , alors la matrice de la base de N selon celle de M est une matrice P ∈ Mr×s (A) et si l’on change les bases de M ou de N , cela revient a` remplacer P par XP Y avec X ∈ GLr (A) et Y ∈ GLs (A).